高一数学《等比数列的性质及应用》教案设计

高一数学《等比数列的性质及应用》教案设计

　　教案是教师为顺利而有效地开展教学活动，根据教学大纲和教科书要求及学生的实际情况，以课时或课题为单位，对教学内容、教学步骤、教学方法等进行的具体设计和安排的一种实用性教学文书。下面是小编整理的高一数学《等比数列的性质及应用》教案设计，希望对大家有帮助!

　　一、教学目标：

　　1.知识与技能：理解并掌握等比数列的性质并且能够初步应用。

　　2.过程与方法：通过观察、类比、猜测等推理方法，提高我们分析、综合、抽象、

　　概括等逻辑思维能力。

　　3.情感态度价值观：体会类比在研究新事物中的作用，了解知识间存在的共同规律。

　　二、重点：等比数列的性质及其应用。

　　难点：等比数列的性质应用。

　　三、教学过程。

　　同学们，我们已经学习了等差数列，又学习了等比数列的基础知识，今天我们继续学习等比数列的性质及应用。我给大家发了导学稿，让大家做了预习，现在找同学对照下面的表格说说等差数列和等比数列的差别。

　　数列名称 等差数列 等比数列

　　定义 一个数列，若从第二项起 每一项减去前一项之差都是同一个常数，则这个数列是等差数列。 一个数列，若从第二项起 每一项与前一项之比都是同一个非零常数，则这个数列是等比数列。

　　定义表达式 an-an-1=d (n≥2)

　　(q≠0)

　　通项公式证明过程及方法

　　an-an-1=d; an-1-an-2=d，

　　…a2-a1=d

　　an-an-1+ an-1-an-2+…+a2-a1=(n-1)d

　　an=a1+(n-1)*d

　　累加法 ; …….

　　an=a1q n-1

　　累乘法

　　通项公式 an=a1+(n-1)*d an=a1q n-1

　　多媒体投影(总结规律)

　　数列名称 等差数列   等比数列

　　定 义 等比数列用“比”代替了等差数列中的“差”

　　定 义

　　表

　　达 式 an-an-1=d (n≥2)

　　通项公式证明

　　迭加法 迭乘法

　　通 项 公 式

　　加-乘

　　乘—乘方

　　通过观察，同学们发现：

　　等差数列中的 减法、加法、乘法，

　　等比数列中升级为 除法、乘法、乘方.

　　四、探究活动。

　　探究活动1：小组根据导学稿内容研讨等比数列的性质，并派学生代表上来讲解练习1;等差数列的性质1;猜想等比数列的性质1;性质证明。

　　练习1 在等差数列{an}中，a2= -2,d=2，求a4=_____..(用一个公式计算) 解：a4= a2+(n-2)d=-2+(4-2)*2=2

　　等差数列的性质1： 在等差数列{an}中, a n=am+(n-m)d.

　　猜想等比数列的性质1 若{an}是公比为q的等比数列，则an=am*qn-m

　　性质证明 右边= am*qn-m= a1qm-1qn-m= a1qn-1=an=左边

　　应用 在等比数列{an}中，a2= -2 ,q=2，求a4=_____. 解：a4= a2q4-2=-2*22=-8

　　探究活动2：小组根据导学稿内容研讨等比数列的性质，并派学生代表上来讲解练习2;等差数列的性质2;猜想等比数列的性质2;性质证明。

　　练习2 在等差数列{an}中，a3+a4+a5+a6+a7=450，则a2+a8的值为 . 解：a3+a4+a5+a6+a7=(a3+ a7)+(a4+ a6)+ a5= 2a5+2a5+a5=5 a5=450 a5=90 a2+a8=2×90=180

　　等差数列的性质2： 在等差数列{an}中, 若m+n=p+q,则am+an=ap+aq 特别的，当m=n时，2 an=ap+aq

　　猜想等比数列的性质2 在等比数列{an} 中，若m+n=s+t则am*an=as*at 特别的，当m=n时，an2=ap*aq

　　性质证明 右边=am*an= a1qm-1 a1qn-1= a12qm+n-1= a12qs+t-1=a1qs-1 a1qt-1= as*at=左边 证明的方向:一般来说，由繁到简

　　应用 在等比数列{an}若an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=36,则a3+a5=_____. 解：a2a4+2a3a5+a4a6= a32+2a3a5+a52=(a3+a5)2=36

　　由于an>0，a3+a5>0,a3+a5=6

　　探究活动3：小组根据导学稿内容研讨等比数列的性质，并派学生代表上来讲解练习3;等差数列的性质3;猜想等比数列的性质3;性质证明。

　　练习3 在等差数列{an}中，a30=10,a45=90,a60=_____. 解：a60=2* a45- a30=2×90-10=170

　　等差数列的性质3： 若an-k,an,an+k是等差数列{an}中的三项， 则这些项构成新的等差数列，且2an=an-k+an+k

　　an即时an-k,an,an+k的等差中项

　　猜想等比数列的性质3 若an-k,an,an+k是等比数列{an}中的三项，则这些项构成新的等比数列，且an2=an-k*an+k

　　an即时an-k,an,an+k的.等比中项

　　性质证明 右边=an-k*an+k= a1qn-k-1 a1qn+k-1= a12qn-k-1+n+k-1= a12q2n-2=(a1qn-1) 2t=an2左边 证明的方向:由繁到简

　　应用 在等比数列 {an}中a30=10,a45=90,a60=_____.

　　解：a60= = =810

　　应用 等比数列{an}中，a15=10, a45=90,a60=________. 解：

　　a30= = = 30

　　A60=

　　探究活动4：小组根据导学稿内容研讨等比数列的性质，并派学生代表上来讲解练习4;等差数列的性质4;猜想等比数列的性质4;性质证明。

　　练习4 设数列{an} 、{ bn} 都是等差数列，若a1+b1=7,a3+b3=21,则a5+b5=_____. 解：a5+b5=2(a3+b3)-(a1+b1)=2*21-7=35

　　等差数列的性质4： 设数列{an} 、{ bn} 是公差分别为d1、d2的等差数列,则数列{an+bn}是公差d1+d2的等差数列 两个项数相同的等差数列的和任然是等差数列

　　猜想等比数列的性质4 设数列{an} 、{ bn} 是公比分别为q1、q2的等比数列,则数列{an*bn}是公比为q1q2的等比数列 两个项数相同的等比数列的和比一定是等比数列，两个项数相同的等比数列的积任然是等比数列。

　　性质证明 证明：设数列{an}的首项是a1，公比为q1; {bn}的首项为b1，公比为q2，设cn=anbn那么数列{anbn} 的第n项与第n+1项分别为：

　　应用 设数列{an} 、{ bn} 都是等比数列，若a1b1=7,a3b3=21,则a5b5=_____. 解：由题意可知{anbn}是等比数列，a3b3是a1b1;a5b5的等比中项。

　　由(a3b3)2= a1b1* a5b5 212= 7* a5b5 a5b5=63

　　(四个探究活动的设计充分尊重学生的主体地位，以学生的自主学习，自主探究为主题，以教师的指导为辅，开展教学活动)

　　五、等比数列具有的单调性

　　(1)q<0,等比数列为 摆动 数列， 不具有 单调性

　　(2)q>0(举例探讨并填表)

　　a1 a1>0 a1<0

　　q的范围 0 q=1 q>1 0 q=1 q>1

　　{an}的单调性 单调递减 不具有单调性 单调递增 单调递增 不具有单调性 单调递减

　　让学生举例说明，并查验有多少学生填对。(真确评价)

　　六、课堂练习：

　　1、已知各项均为正数的等比数列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6等于(  ).

　　A. B.7  C.6  D.

　　解析:由已知得a32=5, a82=10,

　　∴a4a5a6=a53= = =5 .

　　答案:A

　　2、已知数列1,a1,a2,4是等比数列,则a1a2=   .

　　答案:4

　　3、 +1与 -1两数的等比中项是(  ).

　　A.1  B.-1  C.   D.±1

　　解析：根据等比中项的定义式去求。答案:选D

　　4、已知等比数列{an}的公比为正数,且a3a9=2  ,a2=1,则a1等于( ).

　　A.2  B.   C.   D.

　　解析:∵a3a9= =2 ,∴ =q2=2,∵q>0,∴q= .故a1= = = .

　　答案:C

　　5练习题：三个数成等比数列，它们的和等于14，

　　它们的积等于64，求这三个数。

　　分析：若三个数成等差数列，则设这三个数为a-d,a,a+d.

　　由类比思想的应用可得，若三个数成等比数列，则设这三个数

　　为： 根据题意

　　再由方程组可得：q=2 或

　　既这三个数为2，4，8或8，4，2。

　　七、小结

　　本节课通过观察、类比、猜测等推理方法，研究等比数列的性质及其应用，从而培养和提高我们综合运用分析、综合、抽象、概括，逻辑思维解决问题的能力。

　　八、

　　§3.1.2等比数列的性质及应用

　　性质一：若{an}是公比为q的等比数列，则an=am*qn-m

　　性质二：在等比数列{an} 中，若m+n=s+t则am*an=as*at

　　性质三：若an-k,an,an+k是等比数列{an}中的三项，则这些

　　项构成新的等比数列，且 an2=an-k*an+k

　　性质四：设数列{an} 、{ bn} 是公比分别为q1、q2的等比

　　数列,则数列{an*bn}是公比为q1q2的等比数列

　　板书设计

　　九、反思

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